Soma Dos Ângulos Internos De Um Triângulo Exercícios

Reza October 27, 2022
Exercícios sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo. (parte d

Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados e três ângulos. Essa forma geométrica é muito utilizada na matemática, física e em outras áreas do conhecimento. Uma das propriedades desse objeto é a soma dos ângulos internos de um triângulo exercícios, que é o assunto que será abordado neste texto.

Ângulos internos de um triângulo

Antes de falar sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, é necessário entender o que são esses ângulos. Os ângulos internos de um triângulo são aqueles formados pelos lados do triângulo no seu interior. Cada triângulo possui três ângulos internos, que somados correspondem sempre a 180 graus.

Os ângulos internos de um triângulo podem ser classificados de acordo com a medida de seus ângulos. São eles:

  • Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos internos agudos, ou seja, menores que 90 graus.
  • Triângulo obtusângulo: possui um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90 graus.
  • Triângulo retângulo: possui um ângulo interno reto, ou seja, igual a 90 graus.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180 graus. Essa propriedade pode ser demonstrada de diversas formas, mas uma das mais simples é utilizando a reta paralela aos lados do triângulo.

Para entender essa demonstração, é necessário saber que quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos formados entre a transversal e as retas são iguais. Na figura abaixo, a reta AB é paralela à reta CD e a reta EF é uma transversal que corta as duas retas.

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Os ângulos formados entre a reta EF e a reta AB são iguais aos ângulos formados entre a reta EF e a reta CD. Isso acontece porque as retas AB e CD são paralelas. Na figura abaixo, os ângulos α e β são iguais, assim como os ângulos γ e δ.

Com essa informação, podemos utilizar a reta paralela aos lados do triângulo para demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus. Na figura abaixo, a reta r é paralela ao lado AC do triângulo ABC e passa pelo vértice B.

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Os ângulos formados entre a reta r e os lados do triângulo são iguais aos ângulos internos do triângulo. Ou seja, o ângulo formado entre a reta r e o lado AB é igual ao ângulo interno ângulo A, o ângulo formado entre a reta r e o lado BC é igual ao ângulo interno ângulo C e o ângulo formado entre a reta r e o lado AC é igual ao ângulo interno ângulo B.

Como a reta r é paralela ao lado AC, sabemos que os ângulos formados entre a reta r e o lado AC são iguais. Ou seja, o ângulo formado entre a reta r e o lado AC é igual ao ângulo formado entre a reta r e o lado AB mais o ângulo formado entre a reta r e o lado BC. Na figura abaixo, o ângulo γ é igual à soma dos ângulos α e β.

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Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, podemos escrever a seguinte equação:

ângulo A + ângulo B + ângulo C = 180 graus

Essa equação é válida para qualquer triângulo, independentemente da forma ou do tamanho dos seus lados. Se medirmos os ângulos internos de um triângulo qualquer e somarmos seus valores, o resultado sempre será 180 graus.

Exercícios sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo

Para fixar o conceito de soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos realizar alguns exercícios. Abaixo estão alguns exemplos de questões que podem ser utilizadas para praticar:

Exercício 1

Calcule a soma dos ângulos internos dos seguintes triângulos:

  1. Triângulo equilátero com lados medindo 4 cm;
  2. Triângulo isósceles com lados medindo 5 cm, 5 cm e 6 cm;
  3. Triângulo escaleno com lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Resolução:

Para resolver esse exercício, basta aplicar a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo. Como todos os triângulos possuem três ângulos internos que somam 180 graus, podemos escrever:

  • Triângulo equilátero: cada ângulo interno mede 60 graus, logo a soma dos ângulos internos é 180 graus;
  • Triângulo isósceles: dois ângulos internos têm a mesma medida, logo podemos calcular a medida do outro ângulo subtraindo a soma dos ângulos conhecidos de 180 graus. Se chamarmos o ângulo desconhecido de x, temos que:

x + 5º + 5º = 180º

x = 170º

Portanto, a soma dos ângulos internos desse triângulo é 170° + 5° + 5° = 180°;

  • Triângulo escaleno: não conhecemos as medidas dos ângulos internos, mas podemos utilizar a lei dos cossenos para calcular um dos ângulos. A lei dos cossenos é dada por:

c² = a² + b² – 2ab cos(γ)

Onde c é o lado oposto ao ângulo γ. Utilizando os valores dos lados, temos:

5² = 3² + 4² – 2 x 3 x 4 cos(γ)

25 = 9 + 16 – 24 cos(γ)

cos(γ) = (9 + 16 – 25) / (2 x 3 x 4)

cos(γ) = -0,25

Como o cosseno de um ângulo é negativo, sabemos que esse ângulo é obtuso. Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos escrever:

ângulo A + ângulo B + ângulo C = 180 graus

Substituindo os valores conhecidos, temos:

ângulo A + ângulo B + γ = 180 graus

Como sabemos que os lados do triângulo são 3 cm, 4 cm e 5 cm, podemos calcular o ângulo γ utilizando a lei dos cossenos:

cos(γ) = (3² + 4² – 5²) / (2 x 3 x 4)

cos(γ) = 0,125

Como o cosseno de um ângulo é positivo, sabemos que esse ângulo é agudo. Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos escrever:

ângulo A + âng

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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