Sistema De Equação Com Duas Incógnitas

Reza March 3, 2023
Matemática 9º ano/9 Sistema de Duas Equações com Duas Incógnitas

Um sistema de equação com duas incógnitas é composto por duas equações que possuem duas variáveis desconhecidas. Essas equações podem ser resolvidas simultaneamente para determinar os valores das incógnitas. Esses sistemas de equações são muito comuns em diversas áreas da matemática e também são aplicados em problemas do cotidiano.

Como resolver um sistema de equação com duas incógnitas?

Para resolver um sistema de equação com duas incógnitas, é necessário seguir os seguintes passos:

  1. Isolar uma das incógnitas em uma das equações;
  2. Substituir o valor encontrado na outra equação;
  3. Resolver a nova equação com apenas uma incógnita;
  4. Substituir o valor encontrado na primeira equação para determinar o valor da outra incógnita.

Exemplo:

Vamos resolver o seguinte sistema de equações:

Sistema:

2x + y = 5

x – y = 1

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Passo 1: Isolar uma das incógnitas em uma das equações. Nesse caso, vamos isolar a variável “x” na segunda equação:

x = y + 1

Passo 2: Substituir o valor encontrado na outra equação:

2(y + 1) + y = 5

Passo 3: Resolver a nova equação com apenas uma incógnita:

2y + 2 + y = 5

3y = 3

y = 1

Passo 4: Substituir o valor encontrado na primeira equação para determinar o valor da outra incógnita:

2x + 1 = 5

2x = 4

x = 2

Portanto, a solução do sistema é x = 2 e y = 1.

Tipos de solução de um sistema de equação com duas incógnitas

Um sistema de equação com duas incógnitas pode ter três tipos de solução:

  • Solução única;
  • Solução infinita;
  • Sem solução.

Solução Única

Um sistema de equação com duas incógnitas tem solução única quando as duas equações possuem apenas um par de valores para as incógnitas que satisfazem ambas as equações. Isso significa que as duas retas que representam as equações se intersectam em um único ponto. Esse ponto é a solução do sistema.

Exemplo:

Sistema:

3x – y = 5

2x + y = 7

Resolvendo o sistema, encontramos que x = 2 e y = 3. Portanto, a solução do sistema é única.

Solução Infinita

Um sistema de equação com duas incógnitas tem solução infinita quando as duas equações possuem infinitos pares de valores para as incógnitas que satisfazem ambas as equações. Isso significa que as duas retas que representam as equações são coincidentes, ou seja, elas se sobrepõem. Qualquer ponto na reta é uma solução do sistema.

Exemplo:

Sistema:

2x + y = 4

4x + 2y = 8

Podemos perceber que a segunda equação é o dobro da primeira. Portanto, as duas equações representam a mesma reta. Qualquer ponto nessa reta é uma solução do sistema. Logo, o sistema possui solução infinita.

Sem Solução

Um sistema de equação com duas incógnitas não tem solução quando as duas equações não possuem nenhum par de valores para as incógnitas que satisfazem ambas as equações. Isso significa que as duas retas que representam as equações são paralelas e não se intersectam em nenhum ponto. Nesse caso, o sistema não tem solução.

Exemplo:

Sistema:

2x + y = 4

2x + y = 6

Podemos perceber que as duas equações representam retas paralelas. Portanto, elas nunca se intersectam em nenhum ponto. Logo, o sistema não tem solução.

Aplicações de sistemas de equações com duas incógnitas

Sistemas de equações com duas incógnitas têm várias aplicações práticas, como por exemplo:

  • Cálculo de preços em promoções;
  • Cálculo de pontos de intersecção entre objetos em jogos de computador;
  • Cálculo de quantidades de produtos em misturas;
  • Cálculo de distância entre objetos em mapas;
  • Cálculo de taxas de crescimento de populações.

Exemplo:

Uma loja de roupas está oferecendo uma promoção em que o cliente pode escolher duas camisetas e uma calça jeans por R$150,00. O preço de cada camiseta é R$30,00 e o preço da calça jeans é R$60,00. Quantos conjuntos de roupas o cliente pode comprar por R$300,00?

Podemos usar um sistema de equação com duas incógnitas para resolver o problema:

Sistema:

2c + j = 150

c + j = 100

Onde “c” representa o preço de cada camiseta e “j” representa o preço da calça jeans.

Resolvendo o sistema, encontramos que c = 20 e j = 80. Portanto, cada conjunto de roupas custa R$160,00. O cliente pode comprar dois conjuntos de roupas por R$320,00, mas não pode comprar três conjuntos com R$300,00.

Conclusão

Os sistemas de equações com duas incógnitas são uma ferramenta importante na matemática e têm diversas aplicações práticas. É importante saber como resolvê-los e identificar os diferentes tipos de solução que podem ocorrer. Com essas habilidades, é possível resolver problemas do cotidiano e também avançar em áreas mais complexas da matemática.

FAQs

1. Como posso saber se um sistema de equação com duas incógnitas tem solução?

Um sistema de equação com duas incógnitas tem solução se as duas equações representam retas que se intersectam em um ponto. Esse ponto é a solução do sistema. Se as duas equações representam retas coincidentes, o sistema tem solução infinita. Se as duas equações representam retas paralelas, o sistema não tem solução.

2. Posso resolver um sistema de equação com duas incógnitas sem isolar uma das incógnitas?

Sim, é possível resolver um sistema de equação com duas incógnitas sem isolar uma das incógnitas. Existem métodos como a eliminação de Gauss e a regra de Cramer que permitem encontrar as soluções do sistema sem necessidade de isolar as incógnitas. No entanto, esses métodos são mais complexos e exigem mais cálculos do que o método de isolar uma das incógnitas.

3. Qual é a importância dos sistemas de equações com duas incógnitas na matemática?

Os sistemas de equações com duas incógnitas são importantes porque são uma ferramenta básica para resolver problemas matemáticos e também têm diversas aplicações práticas. Eles são usados em áreas como a física, a engenharia, a economia e a estatística, entre outras. Além disso, os sistemas de equações com duas incógnitas são a base para o estudo de sistemas de equações com mais de duas incógnitas, que são mais complexos e têm aplicações ainda mais amplas.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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