Regra Da Cadeia Derivada Parcial

Reza October 31, 2022
Regra da Cadeia Derivadas Parciais Parte 4 Calc 2 e 3. YouTube

Introdução

A regra da cadeia é uma ferramenta muito útil na análise matemática que nos permite calcular a derivada de uma função composta. No cálculo de uma variável, a regra da cadeia é a seguinte: Seja f uma função diferenciável de x e g uma função diferenciável de t. Então, a função composta h = f(g(t)) é diferenciável, e a sua derivada é dada por:

Regra da cadeia

Fórmula

$ \frac{dh}{dt} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dt} $

Explicação

A regra da cadeia afirma que a taxa de variação da função composta h em relação a t é igual ao produto da taxa de variação de f em relação a g e a taxa de variação de g em relação a t. Aqui, a função g atua como uma “ponte” entre f e h. Através da função g, a variável t é transformada em uma variável x, que é então usada na função f para obter h.

Regra da cadeia derivada parcial

A regra da cadeia também é aplicável no cálculo de derivadas parciais. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis, onde x e y são funções de t. Então, a derivada parcial de z em relação a t é dada por:

Fórmula

$ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} $

Explicação

Aqui, a regra da cadeia é aplicada duas vezes: primeiro, para calcular a taxa de variação de z em relação a x e y, e depois, para calcular a taxa de variação de x e y em relação a t. A primeira parte da fórmula calcula a contribuição de x para a taxa de variação de z em relação a t. Isso é feito calculando a taxa de variação de f em relação a x multiplicada pela taxa de variação de x em relação a t. Da mesma forma, a segunda parte da fórmula calcula a contribuição de y para a taxa de variação de z em relação a t.

Exemplo

Vamos considerar a função z = f(x,y) = 3x²y + y², onde x = cos(t) e y = sin(t). Queremos calcular a derivada parcial de z em relação a t. Usando a regra da cadeia derivada parcial, temos: $ \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} $ $ = (6xy \cdot (-sin(t))) + (3x² \cdot cos(t)) + (2y \cdot cos(t)) $ Substituindo x e y pelos seus valores, obtemos: $ \frac{\partial z}{\partial t} = (6 \cdot cos(t) \cdot sin(t) \cdot (-sin(t))) + (3 \cdot cos²(t) \cdot cos(t)) + (2 \cdot sin(t) \cdot cos(t)) $ $ = -6cos(t)sin²(t) + 3cos³(t) + 2sin(t)cos(t) $

Conclusão

A regra da cadeia derivada parcial é uma ferramenta importante no cálculo de derivadas parciais de funções compostas. Ela nos permite decompor a contribuição de cada variável para a taxa de variação da função composta em relação a uma outra variável. Ao aplicar a regra da cadeia, é importante lembrar de calcular as derivadas parciais de cada função em relação às suas variáveis independentes e multiplicar adequadamente as contribuições de cada variável.

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FAQs

1. A regra da cadeia também é aplicável no cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis?

Sim, a regra da cadeia pode ser estendida para o cálculo de derivadas de funções com mais de duas variáveis. Nesse caso, a fórmula se torna mais complexa, pois envolve a contribuição de cada variável para a taxa de variação da função em relação a todas as outras variáveis.

2. A regra da cadeia é válida para funções não lineares?

Sim, a regra da cadeia é válida para funções não lineares. Ela é uma ferramenta fundamental no cálculo de derivadas em geral e pode ser aplicada em qualquer função que seja diferenciável.

3. É possível aplicar a regra da cadeia para o cálculo de derivadas de funções com variáveis implícitas?

Sim, a regra da cadeia pode ser aplicada para o cálculo de derivadas de funções com variáveis implícitas, desde que seja possível expressar as variáveis dependentes em função das variáveis independentes. Nesse caso, a regra da cadeia é aplicada para calcular a derivada da variável dependente em relação às variáveis independentes.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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