No Triângulo Retângulo Determine As Medidas X E Y Indicadas

Reza February 10, 2022
No triângulo retângulo,determine as medidas de x e y indicadas(use sen

Este problema de geometria envolve um triângulo retângulo, que é um triângulo com um ângulo reto (90 graus). O objetivo é determinar as medidas dos lados x e y indicados. Para resolver este problema, precisamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas identidades trigonométricas.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Matematicamente, isso pode ser expresso como:

a² + b² = c²

onde a e b são os catetos do triângulo e c é a hipotenusa.

No triângulo retângulo dado, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida da hipotenusa c. Sabemos que um dos catetos tem medida 3 e o outro cateto tem medida x + y. Então, podemos escrever:

3² + (x + y)² = c²

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Expandindo os termos, temos:

9 + x² + 2xy + y² = c²

Agora, precisamos encontrar outra equação que envolva as medidas de x e y para resolver o sistema de equações e determinar as medidas dos lados x e y.

Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são relações matemáticas que envolvem as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. No triângulo retângulo, podemos usar essas identidades para relacionar os ângulos com as medidas dos lados.

No triângulo retângulo dado, podemos usar a identidade trigonométrica do seno para relacionar o ângulo θ com as medidas dos lados. O seno de um ângulo é definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

Então, podemos escrever:

sen(θ) = y/c

Isolando c, temos:

c = y/sen(θ)

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

9 + x² + 2xy + y² = (y/sen(θ))²

Expandindo os termos, temos:

9 + x² + 2xy + y² = y²/sen²(θ)

Mas também podemos usar a identidade trigonométrica do cosseno para relacionar o ângulo θ com as medidas dos lados. O cosseno de um ângulo é definido como a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Então, podemos escrever:

cos(θ) = x/c

Isolando c, temos:

c = x/cos(θ)

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

9 + x² + 2xy + y² = x²/cos²(θ)

Mas sabemos que sen²(θ) + cos²(θ) = 1, pela identidade trigonométrica fundamental. Então, podemos substituir cos²(θ) por 1 – sen²(θ) na equação anterior, e obtemos:

9 + x² + 2xy + y² = x²/(1 – sen²(θ))

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:

9 + x² + 2xy + y² = y²/sen²(θ)

9 + x² + 2xy + y² = x²/(1 – sen²(θ))

Podemos resolver esse sistema de equações para determinar as medidas dos lados x e y. Começamos isolando uma das incógnitas em uma das equações:

y²/sen²(θ) – x² – 2xy – 9 = 0

Em seguida, substituímos essa expressão na outra equação:

9 + x² + 2xy + (y²/sen²(θ) – x² – 2xy – 9) = x²/(1 – sen²(θ))

Cancelando os termos iguais, temos:

y²/sen²(θ) = x²/(1 – sen²(θ))

Multiplicando cruzado, temos:

y²(1 – sen²(θ)) = x²sen²(θ)

y²cos²(θ) = x²sen²(θ)

y/x = sen(θ)/cos(θ) = tan(θ)

Substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

x²(tan²(θ) + 1) = 9

Então, podemos escrever:

x² = 9/(tan²(θ) + 1)

e

y² = x²tan²(θ)

Substituindo a medida do ângulo θ, que é dada no problema, podemos calcular as medidas dos lados x e y:

x² = 9/(tan²(45 graus) + 1) = 3

e

y² = x²tan²(45 graus) = 3

Então, temos:

x = √3

e

y = √3

Conclusão

O problema de geometria “No Triângulo Retângulo determine as medidas x e y indicadas” envolveu o uso do Teorema de Pitágoras e das identidades trigonométricas para determinar as medidas dos lados de um triângulo retângulo. A solução envolveu a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas, que foi simplificado usando as identidades trigonométricas.

FAQs

1. O que é um triângulo retângulo?

Um triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Os outros dois ângulos são agudos, ou seja, menores que 90 graus.

2. O que é o Teorema de Pitágoras?

O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática que estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Matematicamente, isso pode ser expresso como: a² + b² = c², onde a e b são os catetos do triângulo e c é a hipotenusa.

3. O que são identidades trigonométricas?

As identidades trigonométricas são relações matemáticas que envolvem as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. No triângulo retângulo, podemos usar essas identidades para relacionar os ângulos com as medidas dos lados.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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