No Caderno Transforme Cada Dízima Periódica Em Fração Irredutível

Reza May 12, 2022
Dada A Dizima Periodica Diga Qual é A Fração EDUCA

Este é um exercício comum em matemática, que consiste em transformar dízimas periódicas em frações irredutíveis. Para entender melhor o que isso significa, vamos primeiro definir esses dois conceitos:

O que é uma dízima periódica?

Uma dízima periódica é um número decimal que apresenta uma sequência de algarismos que se repetem indefinidamente. Por exemplo:

0,333… (aqui o 3 se repete infinitamente)

0,142857142857… (aqui a sequência 142857 se repete infinitamente)

As dízimas periódicas podem ser representadas por uma fração com numerador e denominador inteiros. A seguir, vamos mostrar como fazer essa conversão.

Como transformar uma dízima periódica em fração?

Para transformar uma dízima periódica em fração, podemos usar a seguinte estratégia:

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  1. Identificar a parte inteira da dízima (se houver)
  2. Identificar a parte não periódica da dízima (se houver)
  3. Identificar o período da dízima (a sequência que se repete)
  4. Construir a fração com base nessas informações

Vamos ver um exemplo para entender melhor:

Transforme 0,444… em fração irredutível.

  1. A parte inteira é 0 (não há)
  2. A parte não periódica é 0 (não há)
  3. O período é 4 (porque o 4 se repete)

Agora, vamos construir a fração. Para isso, precisamos saber quantos algarismos tem o período. No nosso exemplo, o período tem apenas 1 algarismo (o 4). Se o período tivesse mais de um algarismo, usaríamos uma técnica um pouco diferente, mas vamos deixar isso para outra ocasião.

Então, para construir a fração, vamos colocar o período sobre um denominador que corresponde a uma quantidade de nove igual ao número de algarismos do período. Como o período tem 1 algarismo, colocamos 4 sobre 9:

0,444… = 4/9

Pronto, temos a fração correspondente à dízima periódica. Mas ainda precisamos verificar se ela é irredutível.

O que é uma fração irredutível?

Uma fração é irredutível quando o numerador e o denominador não têm fatores em comum, exceto o 1. Por exemplo:

2/3 é irredutível, porque 2 e 3 não têm fatores comuns (além do 1)

4/6 não é irredutível, porque 4 e 6 têm fator comum 2

Para verificar se uma fração é irredutível, podemos simplificá-la dividindo o numerador e o denominador pelo maior fator comum entre eles. Se o resultado for uma fração com numerador e denominador inteiros e sem fatores em comum, a fração é irredutível. Caso contrário, podemos simplificá-la novamente e repetir o processo até obtermos uma fração irredutível.

Como simplificar uma fração?

Para simplificar uma fração, podemos seguir os seguintes passos:

  1. Identificar o maior fator comum entre o numerador e o denominador
  2. Dividir o numerador e o denominador por esse fator comum
  3. Verificar se a fração resultante é irredutível

Vamos ver um exemplo:

Simplifique a fração 12/18.

  1. Os fatores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12
  2. Os fatores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9, 18
  3. O maior fator comum é 6
  4. Dividindo 12 e 18 por 6, obtemos a fração 2/3

Verificando se 2/3 é irredutível, vemos que não há fatores em comum entre 2 e 3, além do 1. Logo, a fração 2/3 é irredutível.

Exemplo completo

Vamos agora ver um exemplo completo de como transformar uma dízima periódica em fração irredutível:

Transforme 0,142857142857… em fração irredutível.

  1. A parte inteira é 0 (não há)
  2. A parte não periódica é 0 (não há)
  3. O período é 142857

O período tem 6 algarismos, então vamos colocá-lo sobre um denominador que corresponde a uma quantidade de nove igual a 6 (ou seja, 999999):

0,142857142857… = 142857/999999

Agora, vamos simplificar essa fração. Para isso, precisamos identificar o maior fator comum entre 142857 e 999999:

  1. Os fatores de 142857 são: 1, 3, 7, 11, 13, 37, 77, 111, 259, 333, 481, 703, 1111, 1429, 3333, 4287, 11111, 142857
  2. Os fatores de 999999 são: 1, 3, 9, 27, 37, 81, 111, 333, 999, 1111, 3333, 9999, 11111, 33333, 99999, 111111, 333333, 999999
  3. O maior fator comum é 111
  4. Dividindo 142857 e 999999 por 111, obtemos a fração 142857/9009

Agora, vamos verificar se essa fração é irredutível:

  1. Os fatores de 142857 são: 1, 3, 7, 11, 13, 37, 77, 111, 259, 333, 481, 703, 1111, 1429, 3333, 4287, 11111, 142857
  2. Os fatores de 9009 são: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 81, 189, 243, 567, 729, 1701, 2187, 5103, 6561, 15309, 19683, 45045, 9009
  3. Há um fator em comum entre 142857 e 9009, que é 3
  4. Dividindo 142857 e 9009 por 3, obtemos a fração 47619/3003

Verificando se 47619/3003 é irredutível, vemos que não há fatores em comum entre 47619 e 3003, além do 1. Logo, a fração 47619/3003 é irredutível.

Conclusão

Transformar dízimas periódicas em frações irredutíveis é um exercício comum em matemática, que requer conhecimentos sobre frações, fatores e simplificação. Com as estratégias adequadas, é possível resolver esse tipo de problema com facilidade e precisão.

FAQs

1. Posso usar outra técnica para transformar dízimas periódicas em frações?

Sim, existem outras técnicas que podem ser usadas dependendo do caso. Uma delas é utilizar uma série matemática para representar a dízima periódica e então simplificá-la. Essa técnica é mais avançada e não é necessária para a maioria dos exercícios.

2. É possível transformar

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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