Mdc E Mmc De Polinômios

Reza January 10, 2022
MMC e MDC de monômios e polinômios

O que são polinômios?

Polinômio é uma expressão matemática composta por uma soma algébrica de termos, onde cada termo é um produto de uma constante e uma ou mais variáveis elevadas a expoentes inteiros não negativos. Por exemplo:

  • 3x² + 5x – 7 é um polinômio de segundo grau
  • 4x³y – 2xy² + 6xy é um polinômio de terceiro grau

O que é MDC de polinômios?

O MDC (Máximo Divisor Comum) de dois ou mais polinômios é o polinômio de maior grau que divide todos eles sem deixar resto.

Para encontrar o MDC de dois polinômios, podemos utilizar o algoritmo de Euclides. O processo é semelhante ao utilizado para encontrar o MDC de dois números inteiros.

Exemplo:

Vamos encontrar o MDC entre os polinômios p(x) = 2x³ – 4x² + 2x e q(x) = 6x² – 12x + 6.

Primeiro, dividimos p(x) por q(x):

 1/3x + 1 --------------- 6x² - 12x + 6 | 2x³ - 4x² + 2x 2x³ - 4x² + 2x ------------ 0 

Obtemos resto zero, ou seja, q(x) é divisor de p(x). Então, podemos afirmar que o MDC(p(x), q(x)) = q(x) = 6x² – 12x + 6.

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O que é MMC de polinômios?

O MMC (Mínimo Múltiplo Comum) de dois ou mais polinômios é o polinômio de menor grau que é múltiplo de todos eles.

Para encontrar o MMC de dois polinômios, podemos utilizar o MDC e a seguinte fórmula:

MMC(p(x), q(x)) = (p(x) * q(x)) / MDC(p(x), q(x))

Exemplo:

Utilizando os mesmos polinômios do exemplo anterior, vamos encontrar o MMC entre eles.

Como já calculamos o MDC(p(x), q(x)) = 6x² – 12x + 6, podemos aplicar a fórmula do MMC:

MMC(p(x), q(x)) = (p(x) * q(x)) / MDC(p(x), q(x))

MMC(p(x), q(x)) = (2x³ – 4x² + 2x) * (6x² – 12x + 6) / (6x² – 12x + 6)

MMC(p(x), q(x)) = 2x³(3x – 6) + 2x(3x – 6)

MMC(p(x), q(x)) = 2x(3x – 6)(x² + 1)

Conclusão

O MDC e o MMC de polinômios são conceitos importantes na álgebra e podem ser úteis em diversos problemas matemáticos. O processo para encontrar o MDC é semelhante ao utilizado para encontrar o MDC de números inteiros, enquanto que o MMC pode ser obtido a partir do MDC utilizando a fórmula adequada.

FAQs

1 – É possível calcular o MDC de mais de dois polinômios?

Sim, é possível calcular o MDC de três ou mais polinômios utilizando o mesmo algoritmo de Euclides.

2 – O MMC de polinômios sempre existe?

Nem sempre. Se os polinômios tiverem raízes em comum, o MMC não existe. Por exemplo, o MMC entre os polinômios x² – 1 e x – 1 não existe.

3 – O MMC de polinômios é único?

Não, assim como o MDC, o MMC de polinômios não é único. Existem infinitos polinômios que são múltiplos comuns de dois ou mais polinômios.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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