Fuvest 2019: Considera A Função Polinomial

Reza June 27, 2021
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Introdução

A Fuvest é a fundação responsável pelo processo seletivo da Universidade de São Paulo (USP) e, anualmente, aplica uma prova com questões de diversas áreas do conhecimento. Em 2019, uma das questões propostas foi sobre uma função polinomial. Neste texto, será explicado o que é uma função polinomial e como resolvê-la.

Função Polinomial

Uma função polinomial é uma equação que relaciona duas variáveis, uma delas sendo a incógnita e a outra uma constante. A forma geral de uma função polinomial é:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0

Onde:

  • f(x) é a função polinomial
  • a é um número real, chamado de coeficiente
  • n é um número natural, chamado de grau do polinômio
  • x é a variável independente

O grau do polinômio é dado pelo maior expoente da variável. Por exemplo, a função f(x) = 3x2 + 2x + 1 é um polinômio de grau 2, pois o maior expoente da variável x é 2.

Resolução da Questão

A questão proposta pela Fuvest 2019 foi a seguinte:

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Considere a função polinomial f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 5.

a) Encontre as raízes reais de f(x).

Para encontrar as raízes reais de uma função polinomial, é necessário igualá-la a zero e resolver a equação resultante. Ou seja:

f(x) = 0

x3 – 3x2 – 9x + 5 = 0

Existem diversas maneiras de resolver essa equação, uma delas é utilizando o método de Newton-Raphson. Esse método consiste em aproximar a raiz da equação por meio de uma reta tangente à curva da função polinomial no ponto inicial. A reta tangente é encontrada por meio da derivada da função polinomial. Em seguida, é encontrada a intersecção da reta tangente com o eixo x, que é uma aproximação da raiz. Esse processo é repetido até que se obtenha uma precisão desejada. Nesse caso, a derivada da função polinomial f(x) é dada por:

f'(x) = 3x2 – 6x – 9

A partir daí, é possível encontrar a raiz da equação utilizando o método de Newton-Raphson. Após algumas iterações, a raiz aproximada é x = -2,4. Utilizando o método de divisão sintética, é possível encontrar as outras duas raízes da equação:

(x + 2,4)(x2 – 5,4x + 2,1) = 0

As duas raízes restantes são:

x = 0,3 e x = 4,1

Portanto, as raízes reais da função polinomial f(x) são x = -2,4, x = 0,3 e x = 4,1.

b) Encontre os coeficientes a, b e c da função g(x) = ax2 + bx + c que passa pelos pontos de intersecção de f(x) com os eixos x e y.

Para encontrar os coeficientes da função g(x), é necessário saber que ela passa pelos pontos de intersecção de f(x) com os eixos x e y. O ponto de intersecção com o eixo x é uma raiz da equação f(x), ou seja, um valor de x para o qual f(x) = 0. Portanto, os pontos de intersecção com o eixo x são (-2,4, 0), (0,3, 0) e (4,1, 0). O ponto de intersecção com o eixo y é o ponto em que x = 0. Substituindo x por 0 na equação da função f(x), temos:

f(0) = 5

Portanto, o ponto de intersecção com o eixo y é (0, 5). Para encontrar os coeficientes da função g(x), é necessário utilizar os pontos de intersecção com os eixos x e y. Substituindo os valores dos pontos na equação da função g(x), temos:

a(-2,4)2 + b(-2,4) + c = 0

a(0,3)2 + b(0,3) + c = 0

a(4,1)2 + b(4,1) + c = 0

a.02 + b.0 + c = 5

Simplificando as equações, temos:

5,76a – 2,4b + c = 0

0,09a + 0,3b + c = 0

16,81a + 4,1b + c = 0

c = 5

Agora, é necessário resolver o sistema de equações formado pelas quatro equações acima. Isso pode ser feito utilizando o método da eliminação, que consiste em eliminar uma variável em duas das equações e, em seguida, substituir o valor encontrado em outra equação para eliminar outra variável. Eliminando a variável c nas três primeiras equações, temos:

5,76a – 2,4b = -5

0,09a + 0,3b = -5

16,81a + 4,1b = -5

Eliminando a variável b nas duas primeiras equações, temos:

24a = 11b – 75

16,81a + 4,1b = -5

Substituindo o valor de b encontrado na segunda equação em uma das equações anteriores, temos:

24a = 11(0,3a – 1) – 75

Resolvendo essa equação, encontramos:

a = 1,5625

Substituindo o valor de a na equação 1, temos:

b = 0,9375

Substituindo os valores de a, b e c na equação da função g(x), temos:

g(x) = 1,5625x2 + 0,9375x + 5

Portanto, os coeficientes da função g(x) são a = 1,5625, b = 0,9375 e c = 5.

Conclusão

Este texto apresentou uma explicação sobre o que é uma função polinomial e como resolver uma equação polinomial. Além disso, foi apresentada a resolução da questão proposta pela Fuvest 2019 sobre uma função polinomial. Foram apresentados os métodos de Newton-Raphson e de divisão sintética para encontrar as raízes da equação e o método da eliminação para resolver um sistema de equações. Por fim, foram encontrados os coeficientes da função g(x) que passa pelos pontos de intersecção de f(x) com os eixos x e y.

FAQs

1. O que é uma função polinomial?

Uma função polinomial é uma equação que relaciona duas variáveis, uma delas sendo a incógnita e a outra uma constante.

2. Como encontrar as raízes de uma função polinomial?

Para encontrar as raízes de uma função polinomial, é necessário igualá-la a zero e resolver a equação resultante.

3. Como resolver um sistema de equações?

Para resolver um sistema de equações, é necessário utilizar um método de eliminação para eliminar uma variável em duas das equações e, em seguida, substituir o valor encontrado

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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