Exercícios De Relações Métricas Em Triângulos Retângulos

Reza December 26, 2022
Relações Métricas No Triângulo Retângulo Exercícios 9 Ano EDUCA

Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um de seus ângulos internos medindo exatamente 90 graus. Nesse tipo de triângulo, as relações métricas são muito importantes para a resolução de vários problemas. As relações métricas de um triângulo retângulo são os cálculos que envolvem as medidas dos lados e dos ângulos desse tipo de triângulo.

Principais relações métricas em um triângulo retângulo

As principais relações métricas que são utilizadas em um triângulo retângulo são:

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é a relação métrica mais conhecida em um triângulo retângulo. Ele estabelece que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Matematicamente, temos:

c² = a² + b²

Triângulo retângulo

Na figura acima, temos:

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  • a, b: catetos
  • c: hipotenusa

Relações trigonométricas

As relações trigonométricas são muito importantes na resolução de problemas envolvendo triângulos retângulos. As três principais relações trigonométricas são:

  • Seno
  • Cosseno
  • Tangente

Essas três relações estabelecem uma relação entre os ângulos e as medidas dos lados do triângulo retângulo. Vejamos cada uma delas:

Seno

O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Matematicamente, temos:

sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa

Triângulo retângulo

Na figura acima, temos:

  • θ: ângulo agudo
  • a: cateto oposto
  • c: hipotenusa

Cosseno

O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Matematicamente, temos:

cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa

Triângulo retângulo

Na figura acima, temos:

  • θ: ângulo agudo
  • b: cateto adjacente
  • c: hipotenusa

Tangente

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Matematicamente, temos:

tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente

Triângulo retângulo

Na figura acima, temos:

  • θ: ângulo agudo
  • a: cateto oposto
  • b: cateto adjacente

Relação entre as relações trigonométricas

Existe uma relação que envolve as três relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Essa relação é:

sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Essa relação é conhecida como identidade trigonométrica e pode ser utilizada para calcular uma das três relações trigonométricas a partir das outras duas. Por exemplo, se conhecemos o seno de um ângulo, podemos utilizar essa identidade para calcular o cosseno desse ângulo.

Exercícios de relações métricas em triângulos retângulos

Agora que conhecemos as principais relações métricas em um triângulo retângulo, vamos resolver alguns exercícios para fixar o conteúdo.

Exercício 1

Um poste de 10 m de altura está fincado no chão. Um fio é esticado a partir do topo do poste até um ponto no chão a uma distância de 12 m do pé do poste. Qual é o comprimento do fio?

Para resolver esse problema, precisamos utilizar o teorema de Pitágoras. Temos:

c² = a² + b²

Substituindo pelos valores que conhecemos, temos:

c² = 10² + 12²

c² = 244

c = √244

c ≈ 15,62

Portanto, o comprimento do fio é de aproximadamente 15,62 metros.

Exercício 2

Um avião está voando a uma altitude de 10 km e deseja descer até uma altitude de 2 km. Qual é o comprimento da trajetória do avião?

Para resolver esse problema, precisamos utilizar o teorema de Pitágoras. Temos:

c² = a² + b²

Substituindo pelos valores que conhecemos, temos:

c² = (10 – 2)² + 100²

c² = 64 + 10000

c² = 10064

c = √10064

c ≈ 100,32

Portanto, o comprimento da trajetória do avião é de aproximadamente 100,32 km.

Exercício 3

Um poste de 8 m de altura está fincado no chão a uma distância de 6 m de um muro. Um fio é esticado a partir do topo do poste até um ponto no muro a uma distância de 10 m do pé do poste. Qual é a altura do ponto no muro em relação ao chão?

Para resolver esse problema, precisamos utilizar a relação trigonométrica do seno. Temos:

sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa

Na figura abaixo, temos o triângulo retângulo formado pelo poste, o muro e o fio:

Triângulo retângulo

Podemos observar que o ângulo θ é o mesmo ângulo formado entre o poste e o muro. Portanto, temos:

sen(θ) = 8 / 10

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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