Exercícios De Dízima Periódica E Fração Geratriz

Reza March 4, 2022
M.E.T.E.O.R.O.T.I.C.A Exercícios Resolvidos sobre geratriz de dízimas

Os exercícios de dízima periódica e fração geratriz são comuns em disciplinas como matemática e física, e são usados para ajudar os alunos a entenderem como as frações decimais podem ser expressas de maneira mais simples. Neste artigo, vamos explicar o que são dízimas periódicas e frações geratrizes, e como resolver exercícios envolvendo esses conceitos.

O que são Dízimas Periódicas?

Uma dízima periódica é um número decimal que tem uma sequência repetida de um ou mais dígitos. Por exemplo, o número 0,333… é uma dízima periódica, pois a sequência de dígitos 3 se repete infinitamente.

As dízimas periódicas também podem ser representadas usando uma barra sobre a sequência periódica de dígitos. Por exemplo, a dízima periódica 0,333… pode ser escrita como 0,3̅, onde a barra é colocada sobre o 3 para indicar que ele se repete.

Algumas dízimas periódicas são simples de identificar, como 0,2̅, que é igual a 0,222… ou 1/9. No entanto, outras dízimas periódicas podem ser mais complexas, como 0,123123123…, que pode ser reescrito como 0,123̅.

O que são Frações Geratrizes?

Uma fração geratriz é uma fração que pode ser escrita como uma dízima periódica. Por exemplo, a fração 1/3 pode ser escrita como a dízima periódica 0,333….

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos usar uma fórmula simples. Por exemplo, para encontrar a fração geratriz de 0,777…, podemos seguir os seguintes passos:

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  1. Seja x a dízima periódica.
  2. Multiplicamos x por 10^n, onde n é o número de dígitos na parte periódica.
  3. Subtraímos x de 10^n * x.
  4. Resolvemos a equação resultante para x.

No exemplo de 0,777…, temos:

  1. x = 0,777…
  2. 10x = 7,777…
  3. 10x – x = 7,777… – 0,777… = 7
  4. 9x = 7
  5. x = 7/9

Portanto, a fração geratriz de 0,777… é 7/9.

Exercícios de Dízima Periódica e Fração Geratriz

Agora que entendemos o que são dízimas periódicas e frações geratrizes, podemos resolver alguns exercícios envolvendo esses conceitos.

Exemplo 1:

Encontre a fração geratriz de 0,444….

  1. x = 0,444…
  2. 10x = 4,444…
  3. 10x – x = 4,444… – 0,444… = 4
  4. 9x = 4
  5. x = 4/9

Portanto, a fração geratriz de 0,444… é 4/9.

Exemplo 2:

Encontre a fração geratriz de 0,121212….

  1. x = 0,121212…
  2. 100x = 12,1212…
  3. 99x = 12
  4. x = 4/33

Portanto, a fração geratriz de 0,121212… é 4/33.

Exemplo 3:

Escreva a fração 5/11 como uma dízima periódica.

Para encontrar a dízima periódica de 5/11, podemos seguir os seguintes passos:

  1. Dividimos o numerador (5) pelo denominador (11).
  2. Anotamos o quociente (0) e o resto (5).
  3. Multiplicamos o resto por 10 e dividimos pelo denominador novamente.
  4. Repetimos os passos 2 e 3 até que o resto seja 0 ou a sequência de restos se repita.

No caso de 5/11, temos:

Divisão Quociente Resto
5 ÷ 11 0 5
50 ÷ 11 4 6
60 ÷ 11 5 5

Como o resto se repetiu, a dízima periódica de 5/11 é 0,45̅.

Conclusão

Os exercícios de dízima periódica e fração geratriz são importantes para ajudar os alunos a entenderem como as frações decimais podem ser representadas de maneira mais simples. Ao seguir as fórmulas e técnicas corretas, é possível encontrar rapidamente a fração geratriz de uma dízima periódica, ou vice-versa.

FAQs

1. Como posso identificar se um número é uma dízima periódica?

Um número é uma dízima periódica se tiver uma sequência repetida de um ou mais dígitos após a vírgula. Por exemplo, 0,666… é uma dízima periódica, pois a sequência de dígitos 6 se repete infinitamente.

2. Existem dízimas periódicas que não podem ser expressas como frações geratrizes?

Sim, existem dízimas periódicas que não podem ser expressas como frações geratrizes. Por exemplo, a dízima periódica 0,123456789101112… não pode ser expressa como uma fração geratriz.

3. Como posso usar a fração geratriz de uma dízima periódica em cálculos matemáticos?

Usar a fração geratriz de uma dízima periódica em cálculos matemáticos pode ser mais conveniente do que usar a representação decimal. Por exemplo, em vez de calcular 0,444… ÷ 0,333…, podemos calcular 4/9 ÷ 1/3, o que é mais fácil de resolver.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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