Equação Da Hipérbole Exercícios Resolvidos

Reza April 24, 2022
Equação Da Hiperbole Exercicios Resolvidos EDUCA

A equação da hipérbole é uma das equações mais importantes da geometria analítica. A hipérbole é uma curva geométrica que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença de distâncias a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante e maior do que a distância entre eles.

Neste artigo, vamos explicar o que é a equação da hipérbole, como ela é formada e como resolver exercícios envolvendo esta equação.

O que é a equação da hipérbole?

A equação da hipérbole é uma equação que representa a hipérbole no plano cartesiano. Ela é dada pela fórmula:

(x – h)² / a² – (y – k)² / b² = 1

onde:

  • h e k são as coordenadas do centro da hipérbole;
  • a e b são as medidas dos semi-eixos da hipérbole.

A equação da hipérbole pode ser escrita de diferentes formas, dependendo da posição da hipérbole no plano cartesiano. Por exemplo, se a hipérbole estiver centrada na origem do plano cartesiano, a equação será:

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x² / a² – y² / b² = 1

Se a hipérbole estiver inclinada em relação aos eixos coordenados, a equação será:

(x – h)² / a² – (y – k)² / b² = cos²(θ)

Onde θ é o ângulo de inclinação da hipérbole em relação ao eixo x.

Como resolver exercícios envolvendo a equação da hipérbole?

Para resolver exercícios envolvendo a equação da hipérbole, é preciso entender como funciona a representação gráfica da hipérbole no plano cartesiano. A hipérbole é formada por duas curvas simétricas em relação ao centro da hipérbole, chamadas de ramos. Esses ramos se estendem até o infinito e nunca se tocam.

Para representar graficamente a hipérbole, é preciso determinar os pontos de interseção dos ramos com os eixos coordenados, chamados de vértices. Esses pontos são dados pelas equações:

  • V1: (h + a, k) e V2: (h – a, k) se a é o semi-eixo maior na direção do eixo x;
  • V1: (h, k + b) e V2: (h, k – b) se b é o semi-eixo maior na direção do eixo y.

Com esses pontos determinados, é possível desenhar os ramos da hipérbole e, a partir disso, resolver exercícios que envolvem a equação da hipérbole.

Vamos ver um exemplo:

1) Determine as coordenadas dos vértices e dos focos da hipérbole dada pela equação:

(x – 2)² / 9 – (y + 1)² / 16 = 1

Para resolver este exercício, precisamos identificar os valores de h, k, a e b na equação da hipérbole.

  • h = 2, pois o centro da hipérbole está na coordenada (2, -1);
  • k = -1, pois o centro da hipérbole está na coordenada (2, -1);
  • a = 3, pois 3 é a raiz quadrada do denominador do termo (x – 2)² na equação da hipérbole;
  • b = 4, pois 4 é a raiz quadrada do denominador do termo (y + 1)² na equação da hipérbole.

Com esses valores, podemos determinar as coordenadas dos vértices e dos focos:

  • V1: (2 + 3, -1) = (5, -1) e V2: (2 – 3, -1) = (-1, -1);
  • F1: (2 + 5, -1) = (7, -1) e F2: (2 – 5, -1) = (-1, -1).

Com essas coordenadas, podemos desenhar os ramos da hipérbole e verificar se os focos estão na posição correta:

hipérbole

Podemos ver que os focos estão na posição correta, com uma distância constante de 2a = 6 unidades entre eles.

2) Determine a equação da hipérbole com vértices em (-5, 0) e (1, 0) e foco em (-3, 0).

Para resolver este exercício, precisamos determinar os valores de h, k, a e b a partir dos vértices e do foco dados.

  • V1: (-5, 0) e V2: (1, 0), portanto o centro da hipérbole é o ponto médio entre esses dois pontos: (h, k) = (-2, 0);
  • a = 3, pois a distância entre o centro e os vértices é igual a 2a = 6 unidades;
  • b = √2, pois a distância entre o centro e o foco é igual a c = 3 – (-3) = 6 unidades, e b é dado pela fórmula b² = c² – a².

Com esses valores, podemos escrever a equação da hipérbole:

(x + 2)² / 9 – y² / 2 = 1

Podemos verificar que os vértices e o foco estão na posição correta, desenhando a hipérbole no plano cartesiano:

hipérbole

Conclusão

A equação da hipérbole é uma equação fundamental da geometria analítica, que permite representar graficamente a hipérbole no plano cartesiano. Para resolver exercícios envolvendo esta equação, é preciso determinar os valores de h, k, a e b a partir da equação da hipérbole ou dos vértices e focos dados, e utilizar esses valores para desenhar a hipérbole e verificar se os focos estão na posição correta.

FAQs

1) O que é a hipérbole?

A hipérbole é uma curva geométrica que pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença de distâncias a dois pontos fixos, chamados de focos, é constante e maior do que a distância entre eles.

2) Como são os ramos da hipérbole?

Os ramos da hipérbole são duas curvas simétricas em relação ao centro da hipérbole, que se estendem até o infinito e nunca se tocam.

3) Como determinar os valores de a e b na equação da hipérbole?

Os valores de a e b na equação da hipérbole podem ser determinados a partir da distância entre o centro da hipérbole e os vértices, ou a partir da distância entre o centro da hipérbole e um dos focos e da distância entre o

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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