Determine O Zero Da Função

Reza April 17, 2022
Zero da função YouTube

Quando se fala em determinar o zero da função, estamos buscando o valor de x que faz com que a função y seja igual a zero. Isso é muito importante em diversas áreas da matemática e da física, pois permite encontrar soluções para diversas equações e problemas.

Como encontrar o zero da função

Existem diversas maneiras de encontrar o zero da função, mas algumas das mais comuns são:

Método da bissecção

O método da bissecção é um dos métodos mais simples e antigos para encontrar o zero da função. Ele consiste em dividir o intervalo em que se espera encontrar o zero em duas partes iguais e verificar qual dos dois intervalos contém o zero. Esse processo é repetido diversas vezes, até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Por exemplo, se temos uma função f(x), e queremos encontrar o zero em um intervalo [a,b], podemos fazer o seguinte:

  1. Calcular f(a) e f(b)
  2. Calcular o ponto médio m = (a+b)/2
  3. Verificar se f(m) é igual a zero ou se f(a) e f(m) têm sinais diferentes. Se for o caso, o zero está no intervalo [a,m], caso contrário, está no intervalo [m,b].
  4. Repetir os passos 2 e 3 até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é um método mais avançado e rápido para encontrar o zero da função. Ele consiste em escolher um ponto inicial x0 e calcular a tangente à curva da função nesse ponto. A interseção da tangente com o eixo x é a aproximação para o zero. Esse processo é repetido diversas vezes, até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Por exemplo, se temos uma função f(x), e queremos encontrar o zero a partir de um ponto inicial x0, podemos fazer o seguinte:

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  1. Calcular f(x0) e f'(x0)
  2. Calcular a reta tangente à curva da função no ponto (x0,f(x0)), ou seja, a reta y = f'(x0)(x-x0) + f(x0)
  3. Calcular a interseção da reta tangente com o eixo x, ou seja, x1 = x0 – f(x0)/f'(x0)
  4. Repetir os passos 2 e 3 até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Método da secante

O método da secante é uma variação do método de Newton-Raphson, que não requer o cálculo da derivada da função. Ele consiste em escolher dois pontos iniciais x0 e x1 e calcular a reta secante que passa pelos pontos (x0,f(x0)) e (x1,f(x1)). A interseção da reta secante com o eixo x é a aproximação para o zero. Esse processo é repetido diversas vezes, até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Por exemplo, se temos uma função f(x), e queremos encontrar o zero a partir de dois pontos iniciais x0 e x1, podemos fazer o seguinte:

  1. Calcular f(x0) e f(x1)
  2. Calcular a reta secante que passa pelos pontos (x0,f(x0)) e (x1,f(x1)), ou seja, a reta y = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) * (x-x0) + f(x0)
  3. Calcular a interseção da reta secante com o eixo x, ou seja, x2 = x1 – f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))
  4. Repetir os passos 2 e 3 até que se encontre uma aproximação satisfatória para o zero.

Exemplo prático

Vamos considerar a função f(x) = x^3 – 9x + 3. Nesse caso, queremos encontrar o zero da função no intervalo [0,1]. Vamos utilizar o método da bissecção:

  1. f(0) = 3 e f(1) = -5. Como f(0) e f(1) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [0,1/2]
  2. f(1/2) = -1.875 e f(0) = 3. Como f(1/2) e f(0) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [1/2,3/4]
  3. f(3/4) = 1.578 e f(1/2) = -1.875. Como f(3/4) e f(1/2) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [1/2,3/4]
  4. f(5/8) = -0.348 e f(1/2) = -1.875. Como f(5/8) e f(1/2) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [5/8,3/4]
  5. f(11/16) = 0.609 e f(5/8) = -0.348. Como f(11/16) e f(5/8) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [5/8,11/16]
  6. f(21/32) = 0.115 e f(5/8) = -0.348. Como f(21/32) e f(5/8) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [21/32,11/16]
  7. f(43/64) = -0.126 e f(21/32) = 0.115. Como f(43/64) e f(21/32) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [21/32,43/64]
  8. f(85/128) = -0.006 e f(21/32) = 0.115. Como f(85/128) e f(21/32) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [85/128,43/64]
  9. f(341/512) = 0.054 e f(85/128) = -0.006. Como f(341/512) e f(85/128) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [85/128,341/512]
  10. f(683/1024) = 0.023 e f(85/128) = -0.006. Como f(683/1024) e f(85/128) têm sinais diferentes, o zero está no intervalo [683/1024,341/512]
  11. Aproximação para o zero: 0.6953

Conclusão

Determinar o zero da função é uma tarefa fundamental em diversas áreas da matemática e da física. Existem diversos métodos para encontrar o zero da função, como o método da bissecção, o método de Newton-Raphson e o método da secante. Cada um desses métodos tem suas vantagens e desvantagens, e a escolha do método mais adequado depende do problema em questão. Em geral, é recomendável utilizar um método mais avançado quando o intervalo em que se espera encontrar o zero é pequeno ou quando a função é complexa.

FAQs

1. O que é uma função?

Uma função é uma relação entre dois conjuntos que associa a cada elemento do primeiro conjunto (domínio) um único elemento do segundo conjunto (contra-domínio).

2. Por que é importante encontrar o zero da função?

Encontrar o zero da função permite resolver diversas equações e problemas em matemática e física, como encontrar os pontos críticos de uma função, calcular as raízes de uma equação polinomial, determinar a posição de um objeto em movimento, entre outros.

3. Como escolher o método mais adequado para encontrar o zero da função?

A escolha do método mais adequado para encontrar o zero da função

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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