Determinação Do Conjunto Solução De Um Sistema De Equações

Reza June 18, 2022
o conjunto solução do sistema { x² 6x + 9 ≥ 0 { 3x 6 > 0 e com

Para determinar o conjunto solução de um sistema de equações, é necessário encontrar os valores das variáveis que tornam verdadeiras todas as equações do sistema. O conjunto solução é formado por esses valores que satisfazem todas as equações do sistema.

Sistema de equações

Um sistema de equações é um conjunto de equações que devem ser resolvidas simultaneamente. Cada equação do sistema possui uma ou mais variáveis e o conjunto solução é formado pelos valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações do sistema.

Por exemplo, o sistema abaixo possui duas equações e duas variáveis:

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

O objetivo é encontrar os valores de x e y que tornam verdadeiras as duas equações do sistema.

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Métodos para resolver sistemas de equações

Existem vários métodos para resolver sistemas de equações, como o método da adição, o método da substituição, o método da eliminação e o método da matriz inversa.

Método da adição

No método da adição, as equações do sistema são adicionadas de forma que uma das variáveis seja eliminada. O resultado é uma equação com apenas uma variável, que pode ser resolvida facilmente.

Por exemplo, no sistema abaixo:

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Podemos somar as duas equações para eliminar a variável y:

$$\begin{cases} (2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \\ 3x = 6 \end{cases}$$

Assim, temos uma equação com apenas uma variável:

$$3x = 6$$

Resolvendo a equação, encontramos o valor de x:

$$x = \frac{6}{3} = 2$$

Substituindo o valor de x em uma das equações do sistema, podemos encontrar o valor de y:

$$2x + y = 5 \Rightarrow 2 \cdot 2 + y = 5 \Rightarrow y = 1$$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$$\{(2,1)\}$$

Método da substituição

No método da substituição, uma das equações do sistema é isolada em função de uma das variáveis e essa equação é substituída na outra equação do sistema.

Por exemplo, no sistema abaixo:

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Podemos isolar a variável y na segunda equação:

$$y = x – 1$$

Substituindo essa equação na primeira equação do sistema, temos:

$$2x + (x – 1) = 5$$

Assim, temos uma equação com apenas uma variável:

$$3x = 6$$

Resolvendo a equação, encontramos o valor de x:

$$x = \frac{6}{3} = 2$$

Substituindo o valor de x na equação y = x – 1, podemos encontrar o valor de y:

$$y = 2 – 1 = 1$$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$$\{(2,1)\}$$

Método da eliminação

No método da eliminação, uma das variáveis é eliminada através da adição ou subtração das equações do sistema. Para isso, é necessário multiplicar uma ou mais equações por um número para que as variáveis a serem eliminadas apresentem coeficientes iguais em módulo e sinal oposto.

Por exemplo, no sistema abaixo:

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Podemos multiplicar a segunda equação do sistema por -2 para que o coeficiente de y em ambas as equações seja -y:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ -2x + 2y = -2 \end{cases}$$

Somando as duas equações, a variável y é eliminada:

$$y – 2y = 5 – 2 \Rightarrow -y = 3$$

Assim, temos uma equação com apenas uma variável:

$$y = -3$$

Substituindo o valor de y na segunda equação do sistema, podemos encontrar o valor de x:

$$x – (-3) = 1 \Rightarrow x = 4$$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$$\{(4,-3)\}$$

Método da matriz inversa

O método da matriz inversa utiliza conceitos de matrizes para resolver sistemas de equações. Para isso, é necessário transformar as equações em uma matriz e encontrar a matriz inversa dessa matriz. O produto da matriz inversa pela matriz das equações resulta no conjunto solução do sistema.

Por exemplo, no sistema abaixo:

Sistema:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Podemos escrever as equações em forma de matriz:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Para encontrar a matriz inversa da matriz das equações, é necessário calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta.

O determinante da matriz é:

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot -1) – (1 \cdot 1) = -3$$

A matriz adjunta é obtida trocando os elementos da diagonal principal pelos elementos da diagonal secundária e mudando o sinal dos demais elementos:

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

Então, multiplicando a matriz inversa pela matriz das equações, temos:

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

$$\{(4,-3)\}$$

Conclusão

Em resumo, o conjunto solução de um sistema de equações é formado pelos valores das variáveis que tornam verdadeiras todas as equações do sistema. Existem vários métodos para resolver sistemas de equações, como o método da adição, o método da substituição, o método da eliminação e o método da matriz inversa. A escolha do método depende das características do sistema e do conhecimento do solucionador.

FAQs

O que é um sistema de equações?

Um sistema de equações é um conjunto de equações que devem ser resolvidas simultaneamente. Cada equação do sistema possui uma ou mais variáveis e o conjunto solução é formado pelos valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações do sistema.

Como determinar o conjunto solução de um sistema de equações?

Para determinar o conjunto solução de um sistema de equações, é necessário encontrar os valores das variáveis que tornam verdadeiras todas as equações do sistema. Existem vários métodos para resolver sistemas de equações, como o método da adição, o método da substituição, o método da eliminação e o método da matriz inversa.

Quais são os métodos mais utilizados para resolver sistemas de equações?

Os métodos mais utilizados para resolver sistemas de equações são o método da adição, o método da substituição e o método da eliminação. O método da matriz inversa é mais utilizado em matrizes

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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