Decomposição Em Fatores Primos E Simplificação De Radicais

Reza November 24, 2021
Calcule Os Radicandos Em Fatores Primos 2401 EDUCA

Quando nos deparamos com radicais em expressões matemáticas, muitas vezes precisamos simplificá-los para facilitar os cálculos ou para encontrar soluções exatas. Para isso, é necessário fazer a decomposição do radicando em fatores primos e, em seguida, simplificar cada radical.

Decomposição em fatores primos

Para decompor um número em fatores primos, devemos dividi-lo sucessivamente pelos números primos até que não seja mais possível fazê-lo. O resultado final será a multiplicação desses números primos.

Por exemplo, vamos decompor o número 24 em fatores primos:

  • 24 ÷ 2 = 12
  • 12 ÷ 2 = 6
  • 6 ÷ 2 = 3

Como 3 é um número primo, a decomposição de 24 em fatores primos é:

24 = 2 x 2 x 2 x 3

Simplificação de radicais

Para simplificar um radical, devemos procurar fatores que possam sair da raiz. Esses fatores devem ser elevados à metade do índice da raiz e multiplicados pelo que sobrar dentro da raiz.

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Por exemplo, vamos simplificar a seguinte expressão:

√36x3y2

Primeiro, devemos decompor o radicando em fatores primos:

  • 36 = 2 x 2 x 3 x 3
  • x3 = x x x
  • y2 = y x y

Substituindo na expressão original, temos:

√(2 x 2 x 3 x 3 x x x x x y y)

Agora, devemos procurar fatores que possam sair da raiz. Como o índice é 2, os fatores devem ser elevados à metade, ou seja, à potência 1:

√(2 x 2 x 3 x 3) x √(x x x) x √(y y)

Simplificando, temos:

6xy√y

Exemplo completo

Vamos agora ver um exemplo completo de decomposição em fatores primos e simplificação de radicais:

√98x4y3

Primeiro, devemos decompor o radicando em fatores primos:

  • 98 = 2 x 7 x 7
  • x4 = x x x x
  • y3 = y x y x y

Substituindo na expressão original, temos:

√(2 x 7 x 7 x x x x x y y y)

Agora, devemos procurar fatores que possam sair da raiz:

√(2 x 7 x 7) x √(x x x x) x √(y y y)

Simplificando, temos:

14x2y√2y

Conclusão

Decompor o radicando em fatores primos e simplificar cada radical pode parecer um processo trabalhoso à primeira vista, mas é uma técnica fundamental para resolver expressões matemáticas de forma precisa e eficiente. Com um pouco de prática, é possível dominar essa habilidade e aplicá-la com facilidade em diversos contextos.

FAQs

1. Qual é a diferença entre números primos e números compostos?

Números primos são aqueles que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos, como 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Já números compostos são aqueles que têm mais de dois divisores, como 4 (que pode ser dividido por 1, 2 e 4) e 6 (que pode ser dividido por 1, 2, 3 e 6).

2. É possível simplificar um radical que contenha um número primo dentro da raiz?

Não é possível simplificar um radical que contenha um número primo dentro da raiz, pois esse número não pode ser decomposto em fatores menores. Nesse caso, o radical deve ser deixado na forma original.

3. Qual é a relação entre a simplificação de radicais e o teorema de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras estabelece que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Esse teorema frequentemente envolve a simplificação de radicais, pois é necessário extrair a raiz quadrada de números que não são quadrados perfeitos. Por exemplo, se os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 4 unidades, a hipotenusa mede √25 = 5 unidades.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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