Dada A Dízima Periódica Diga Qual É A Fração Geratriz

Reza October 17, 2022
DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES E COMPOSTA Calcule a FRAÇÃO GERATRIZ [Série

O que é uma dízima periódica?

Uma dízima periódica é um número decimal que possui uma sequência de dígitos que se repetem infinitamente após a vírgula. Por exemplo, 1/3 em decimal é 0,33333… , onde os dígitos 3 se repetem infinitamente.

O que é uma fração geratriz?

Uma fração geratriz é uma fração que representa um número decimal finito ou periódico. Por exemplo, a fração geratriz de 0,5 é 1/2, a fração geratriz de 0,333… é 1/3 e a fração geratriz de 0,1666… é 1/6.

Como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Existem várias maneiras de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, mas a mais comum é através do uso de uma equação matemática.

Vamos usar o exemplo da dízima periódica 0,6666…:

  1. Coloque a dízima periódica na forma de fração, onde o numerador é igual aos dígitos que se repetem e o denominador é igual à quantidade de dígitos que se repetem. No exemplo de 0,6666…, temos que:
    • numerador = 6
    • denominador = 1
  2. Subtraia a parte não periódica da dízima, que neste caso é 0:
    • 0,6666… – 0 = 0,6666…
  3. Multiplicamos ambos os lados da equação por 10^d, onde d é igual à quantidade de dígitos que se repetem:
    • 10^1 x 0,6666… – 10^0 x 0,6666… = 10^1 x 0,6666…
    • 6,666… – 0,6666… = 6,666…
  4. Subtraímos a equação anterior da primeira equação:
    • 10^1 x 0,6666… – 10^0 x 0,6666… – (0,6666… – 0) = 10^1 x 0,6666… – 6,666…
    • 6,666… – 0,6666… = 4,999…
  5. Colocamos o resultado da equação anterior sobre 10^d – 1:
    • 4,999… / (10^1 – 1) = 4,999… / 9
  6. A fração 4,999… / 9 é a fração geratriz da dízima periódica 0,6666….

Exemplo prático

Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,142857:

  1. Coloque a dízima periódica na forma de fração, onde o numerador é igual aos dígitos que se repetem e o denominador é igual à quantidade de dígitos que se repetem:
    • numerador = 142857
    • denominador = 6 (porque há 6 dígitos que se repetem)
    • fração = 142857 / 6
  2. Subtraia a parte não periódica da dízima, que neste caso é 0:
    • 0,142857 – 0 = 0,142857
  3. Multiplicamos ambos os lados da equação por 10^6, onde 6 é igual à quantidade de dígitos que se repetem:
    • 10^6 x 0,142857 – 10^0 x 0,142857 = 10^6 x 0,142857
    • 142857 – 0,142857 = 142857
  4. Subtraímos a equação anterior da primeira equação:
    • 10^6 x 0,142857 – 10^0 x 0,142857 – (0,142857 – 0) = 10^6 x 0,142857 – 142857
    • 142857 – 0,142857 = 99999
  5. Colocamos o resultado da equação anterior sobre 10^d – 1:
    • 99999 / (10^6 – 1) = 99999 / 999999
  6. A fração 99999 / 999999 é a fração geratriz da dízima periódica 0,142857.

Conclusão

A fração geratriz de uma dízima periódica pode ser encontrada através de uma equação matemática simples. Basta colocar a dízima periódica na forma de fração, subtrair a parte não periódica, multiplicar ambos os lados da equação por 10^d, subtrair a equação anterior da primeira equação e colocar o resultado sobre 10^d – 1. O resultado será a fração geratriz da dízima periódica.

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FAQs

1. É possível encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica infinita?

Sim, é possível encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica infinita. O processo para encontrar a fração geratriz é o mesmo para todos os tipos de dízimas, sejam elas finitas ou infinitas. A única diferença é que, no caso de uma dízima periódica infinita, a equação matemática terá um número infinito de termos.

2. Existe alguma outra maneira de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Sim, existem outras maneiras de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, mas a equação matemática é a mais comum e fácil de entender. Outra maneira é através do uso de frações contínuas, mas esse método é mais complicado e não é tão popular quanto a equação matemática.

3. Qual é a utilidade de encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica?

Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica é útil em muitas áreas da matemática, especialmente na teoria dos números e na geometria. Além disso, a fração geratriz pode ser usada para simplificar cálculos em diversas áreas da matemática e da física.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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