Considere O Circuito Mostrado Na Figura

Reza June 3, 2022
Observe o circuito mostrado na figura.* lembrandose da convenção para

O circuito mostrado na figura é composto por um gerador de tensão, um resistor e um capacitor em série. A tensão do gerador é dada por Vg(t) = 100sen(120πt) V, o resistor tem valor de 10kΩ e o capacitor tem valor de 1μF.

Circuito

Análise do circuito

Para analisar o circuito, podemos utilizar as leis de Kirchhoff e as relações entre tensão e corrente em um resistor e um capacitor.

Lei de Kirchhoff das tensões

A lei de Kirchhoff das tensões (LKT) afirma que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero.

Neste circuito, podemos aplicar a LKT no loop formado pelo gerador, pelo resistor e pelo capacitor.

Vg(t) – VR – VC = 0

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onde VR é a tensão no resistor e VC é a tensão no capacitor.

Relação entre tensão e corrente em um resistor

A relação entre tensão e corrente em um resistor é dada pela lei de Ohm:

V = R * I

onde V é a tensão, R é a resistência e I é a corrente.

Aplicando a lei de Ohm no resistor deste circuito, temos:

VR = R * IR

onde IR é a corrente que passa pelo resistor.

Relação entre tensão e corrente em um capacitor

A relação entre tensão e corrente em um capacitor é dada pela equação:

i(t) = C * dv/dt

onde i(t) é a corrente que passa pelo capacitor, C é a capacitância e dv/dt é a taxa de variação da tensão no capacitor.

Aplicando esta equação no capacitor deste circuito, temos:

i(t) = C * dVC/dt

onde dVC/dt é a taxa de variação da tensão no capacitor.

Solução do circuito

Para resolver o circuito, precisamos encontrar a corrente que passa pelo circuito. Podemos fazer isso encontrando a tensão no capacitor e aplicando a equação da corrente no capacitor.

Sabemos que Vg(t) – VR – VC = 0, então podemos reescrever a equação como:

VC = Vg(t) – VR

Substituindo VR por R * IR e VC por 1/C * ∫i(t) dt, temos:

Vg(t) – R * IR – 1/C * ∫i(t) dt = 0

Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos:

120πcos(120πt) – R * dIR/dt – 1/C * i(t) = 0

Substituindo i(t) por C * dVC/dt, temos:

120πcos(120πt) – R * dIR/dt – 1/C * C * dVC/dt = 0

Simplificando, temos:

dIR/dt + 1/RC * IR = 1/RC * 120πsen(120πt)

Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, que podemos resolver utilizando o método da função de transferência.

A função de transferência é dada por:

H(s) = 1 / (1 + sRC)

onde s é a variável complexa.

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial, temos:

sIR(s) + IR(s)/RC = 120π/s

Simplificando, temos:

IR(s) = 120π / (s * (1 + sRC))

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos:

IR(t) = 120π(1 – e^(-t/RC))

Para encontrar a corrente que passa pelo capacitor, podemos aplicar a equação da corrente no capacitor:

i(t) = C * dVC/dt

Derivando a equação VC = Vg(t) – VR em relação ao tempo, temos:

dVC/dt = dVg(t)/dt – dVR/dt

Substituindo dVR/dt por R * dIR/dt, temos:

dVC/dt = 120πcos(120πt) – R * dIR/dt

Substituindo dIR/dt por sua expressão em função do tempo, temos:

dVC/dt = 120πcos(120πt) – R * 120π/RC * e^(-t/RC)

Integrando ambos os lados, temos:

VC(t) = 120π/RC * t * sen(120πt) + V0 * e^(-t/RC)

onde V0 é a constante de integração.

Podemos encontrar V0 aplicando a condição inicial de que VC(0) = 0.

Substituindo t = 0 na equação acima, temos:

V0 = -120π/RC * 0

Portanto, V0 = 0.

Substituindo V0 = 0 na equação de VC(t), temos:

VC(t) = 120π/RC * t * sen(120πt)

Agora que encontramos as expressões para IR(t) e VC(t), podemos encontrar a corrente que passa pelo capacitor:

i(t) = C * dVC/dt

i(t) = C * 120π/RC * cos(120πt)

Conclusão

Neste artigo, analisamos um circuito composto por um gerador de tensão, um resistor e um capacitor em série. Utilizamos as leis de Kirchhoff e as relações entre tensão e corrente em um resistor e um capacitor para encontrar a corrente que passa pelo circuito. Encontramos que a corrente no circuito é dada por IR(t) = 120π(1 – e^(-t/RC)) e a corrente que passa pelo capacitor é i(t) = C * 120π/RC * cos(120πt).

FAQs

1. O que é a lei de Kirchhoff das tensões?

A lei de Kirchhoff das tensões (LKT) afirma que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero.

2. O que é a lei de Ohm?

A lei de Ohm afirma que a tensão em um resistor é igual à corrente multiplicada pela resistência.

3. Como podemos resolver uma equação diferencial de primeira ordem?

Uma equação diferencial de primeira ordem pode ser resolvida utilizando o método da função de transferência.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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